离散数学证明题.设R是A上的自反和传递关系,S是A上的二元关系,当且仅当(a,b)属于R且(b,a)也属于R时有(a,b)属于S,证明S是A上的等价关系

Question

离散数学证明题.
设R是A上的自反和传递关系,S是A上的二元关系,当且仅当(a,b)属于R且(b,a)也属于R时有(a,b)属于S,证明S是A上的等价关系

Answer 1

证明：
自反性：令a=b,显然(a,b)=(b,a)=(a,a)∈R,故(a,a)∈S,S具有自反性
对称性：若(a,b)∈S,则说明(a,b)∈R且(b,a)∈R,于是自然(b,a)∈S.故S具有对称性
传递性：若(a,b)∈S,(b,c)∈S,则说明(a,b)∈R,(b,a)∈R,(b,c)∈R,(c,b)∈R
因为R具有传递性,所以由(a,b)∈R和(b,c)∈R得出(a,c)∈R,由(c,b)∈R和(b,a)∈R得出(c,a)∈R,得到(a,c)∈S.故S具有传递性
综合上述：S在A上具有自反性,对称性,传递性.S是A上的等价关系.