（高中复数）设M是一个非空集合.f是一种运算.如果对于集合M中任意两个元素p,q,实施运算f的结果仍是集合中的元素,那么就说集合M对于算法f是“封闭的”.已知集合M=｛x|x=a+b根号2,a,b属于Q｝,

Question

（高中复数）设M是一个非空集合.f是一种运算.如果对于集合M中任意两个元素p,q,实施运算f的结果仍是集合中的元素,那么就说集合M对于算法f是“封闭的”.已知集合M=｛x|x=a+b根号2,a,b属于Q｝,试验证M对于加法、减法、乘法、除法（除数不为0）运算是封闭的

Answer 1

设x1=a+b√2 ∈M
x2=c+d√2 ∈M
a,b,c,d∈Q
则有:
x1+x2=(a+c)+(b+d)√2 ,因a+c,b+d都∈Q,所以x1+x2 ∈M
x1-x2=(a-c)+(b-d)√2 ,因a-c,b-d都∈Q,所以x1-x2 ∈M
x1x2=ac+2bd+(ad+bc)√2,因ac+2bd,ad+bc都∈Q,所以x1x2 ∈M
x1/x2=(a+b√2)(c-d√2)/(c²-2d²)
=(ac-2bd)/(c²-2d²)+(bc-ad)/(c²-2d²)√2
因为(ac-2bd)/(c²-2d²),(bc-ad)/(c²-2d²)都∈Q
所以x1/x2 ∈M