设抛物线上与点A（6，0）距离最近的点为N，点N的纵坐标与横坐标的差为c。已知函数f（x）=ax3+bx2-3x+c在x=±1处取得极值。（1）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；

Question

设抛物线 上与点A（6，0）距离最近的点为N，点N的纵坐标与横坐标的差为c。已知函数f（x）=ax ³ +bx ² -3x+c在x=±1处取得极值。
（1）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）过点P（0，16）作y=f（x）的切线，求此切线的方程。

Answer 1

设抛物线 上与点A（6，0）距离最近的点为N，点N的纵坐标与横坐标的差为c。已知函数f（x）=ax ³ +bx ² -3x+c在x=±1处取得极值。
（1）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）过点P（0，16）作y=f（x）的切线，求此切线的方程。

（1）设N（x，y）为抛物线 上一点，则 ，
|MA|与|MA| ² 同时取到极值，
令 ，
由 得x=2，
而当 +∞或 -∞时， ，
∴ 此时x=2，y=2，
即抛物线上与点A（6，0）距离最近的点N（2，2），
∴c=0， ，
∴ ，
依题意，得 ，
即 ，解得： ，
∴ ，
令 ，得x=1或x=-1；
若 ，得x>1或x<1；
若 ，得-1<x<1，
所以 在（-∞，-1）上是增函数，在（1，+∞）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，

（2）曲线方程为 ，点P（0，16）不在曲线上，
设切点Q（x ₀ ，y ₀ ），则点Q的坐标满足 ，
，
故切线的方程为 ，
因为点P在切线上，
∴ ，
化简，得 ，解得： ，
所以，切点为Q（-2，-2），
所以切线的方程为 。