设经过椭圆x^2/4+y^2/3=1上的任意两点的连线(不与坐标轴垂直)的垂直平分线与x轴交点的横坐标为x0,求x0的取值范围?

Question

设经过椭圆x^2/4+y^2/3=1上的任意两点的连线(不与坐标轴垂直)的垂直平分线与x轴交点的横坐标为x0,求x0的取值范围?

Answer 1

设经过椭圆x^2/4+y^2/3=1上的任意两点的连线(不与坐标轴垂直)的垂直平分线与x轴交点的横坐标为x0,求x0的取值范围?
设椭圆上任意两点为M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则有：
x²₁/4+y²₁/3=1.(1)
x²₂/4+y²₂/3=1.(2)
(1)-(2)得(x²₁-x²₂)/4+(y²₁-y²₂)/3=0
3(x₁+x₂)(x₁-x₂)+4(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0
故(y₁-y₂)/(x₁-x₂)=-(3/4)(x₁+x₂)/(y₁+y₂).(3)
MN 的中点P(m,n）的坐标m=(x₁+x₂)/2,n=(y₁+y₂)/2;
过中点P的直线方程为y=-[(x₁-x₂)/(y₁-y₂)[x-(x₁+x₂)/2]+(y₁+y₂)/2
令y=0,即得xo=(y₁+y₂)(y₁-y₂)/[2(x₁-x₂)]+(x₁+x₂)/2.(4)
将(3)代入(4)得xo=-(3/8)(x₁+x₂)+(x₁+x₂)/2=(x₁+x₂)/8
由于-4≦x₁≦4,-4≦x₂≦4,故-8≦x₁+x₂≦8,∴-1≦xo≦1.