（2011•长春模拟）已知函数f(x)＝ex−x22−ax−1，（其中a∈R，e为自然对数的底数（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立

Question

（2011•长春模拟）已知函数f(x)＝ex−(x2)/(2)−ax−1，（其中a∈R，e为自然对数的底数
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时f(x)＝ex−(x2)/(2)−1，∴f'（x）=e^x-x，∴f（0）=0，f'（0）=1，∴切线方程为y=x．（4分）
（2）∵x≥1，∴f(x)＝ex−(x2)/(2)−ax−1≥0⇔a≤(ex−(x2)/(2)−1)/(x)，（5分）
设g(x)＝(ex−(x2)/(2)−1)/(x)，则g′(x)＝((x−1)ex−(x2)/(2)+1)/(x2)，（7分）
设ϕ(x)＝(x−1)ex−(x2)/(2)+1，则ϕ'（x）=x（e^x-1）＞0，（9分）
∴ϕ（x）在[1，+∞）上为增函数，∴ϕ（x）≥ϕ(1)＝(1)/(2)＞0，∴g′(x)＝((x−1)ex−(x2)/(2)+1)/(x2)＞0，
∴g(x)＝(ex−(x2)/(2)−1)/(x)在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g(1)＝e−(3)/(2)，∴a≤e−(3)/(2)．（12分）