用换元积分法解∫[（a^2+x^2)^(1/2)/x^2]dx=?分布积分法很简单,但用换元法我解决不了

Question

用换元积分法解
∫[（a^2+x^2)^(1/2)/x^2]dx=?分布积分法很简单,但用换元法我解决不了

Answer 1

令 x=atanθ,dx = asec²θ dθ
原式= ∫ a secθ / a²tan²θ * asec²θ dθ
= ∫ csc²θ secθ dθ
= ∫ (1+cot²θ)secθ dθ
= ∫ (secθ + cotθ cscθ ) dθ
= ln | tanθ+secθ | - cscθ + C₁
= ln | x+√(a²+x²) | - √(a²+x²) /x + C