换元法求不定积分是的正负号怎么确定题目:∫(1/√((x^2+1)^3))dx,利用换元法求得∫(1/√((x^2+1)^3))dx=sint+c,可是sint可以解出正负两个值,即±1/√(x^2+1),请问负值是如何舍去的?

Question

换元法求不定积分是的正负号怎么确定
题目:∫(1/√((x^2+1)^3))dx,利用换元法求得∫(1/√((x^2+1)^3))dx=sint+c,可是sint可以解出正负两个值,即±1/√(x^2+1),请问负值是如何舍去的?

Answer 1

此题你可能是设x=tant 为了保证函数单调性这里需要限定： t∈(-π/2,π/2)
这样也便于去掉根号时不产生错误
则dx=(sect)^2 dt
原式=∫ 1/sect dt=∫cost dt=sint+c
根据tant=x, 则cott=1/x 可得：(csct)^2=1+(1/x)^2 → csct=[√(1+x^2)] / x
所以sint=1/csct=x/√(1+x^2)
所以原式= x/√(1+x^2)+c

如果你也是设x=tant,那么你求得的sint 结果可能是错误的.
这里在初设的时候必须要限定t的范围,以保证x=tant 的单调性,这是第二类换元法使用的必要条件.一般用他们的反三角函数的范围就可以.
另外必须根据t的范围,才可以判断上述csct、sint 如何取值,否则可能无法取舍正负号.