在(x2+x+1)n＝D0nx2n+D1nx2n−1+D2nx2n−2+…+D2n−1nx+D2nn的展开式中，把D0n，D1n，D2n，…，D2nn叫做三项式的n次系数列．（1）写出三项式的2次系数列和3次系数列；（2）列出杨辉三角形类似的表（0≤n

Question

在(x2+x+1)n＝

D

0 n

x2n+

D

1 n

x2n−1+

D

2 n

x2n−2+…+

D

2n−1 n

x+

D

2n n

的展开式中，把

D

0 n

，

D

1 n

，

D

2 n

，…，

D

2n n

叫做三项式的n次系数列．
（1）写出三项式的2次系数列和3次系数列；
（2）列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N），用三项式的n次系数表示

D

0 n+1

，

D

1 n+1

，

D

k+1 n+1

（1≤k≤2n-1）；
（3）用二项式系数表示

D

3 n

．

Answer 1

（1）在( x2+x+1 )n＝

D

0 n

x2 n+

D

1 n

x2 n−1+

D

2 n

x2 n−2+…+

D

2 n−1 n

x+

D

2 n n

的展开式中，
∵（x²+x+1）²=x⁴+x²+1+2x³+2x²+2x=x⁴+2x³+3x²+2x+1，
∴

D

0 2

＝1 ， 

D

1 2

＝2 ， 

D

2 2

＝3 ， 

D

3 2

＝2 ， 

D

4 2

＝1．
∵（x²+x+1）³=（x⁴+2x³+3x²+2x+1）（x²+x+1）=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1，
∴

D

0 3

＝1 ， 

D

1 3

＝3 ， 

D

2 3

＝6 ， 

D

3 3

＝7 ， 

D

4 3

＝6 ， 

D

5 3

＝3 ， 

D

6 3

＝1．
（2）列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N）：

				1
			1	1	1
		1	2	3	2	1
	1	3	6	7	6	3	1
1	4	10	16	19	16	10	4	1

D

作业帮用户 2017-11-02

问题解析

（1）由（x²+x+1）²=x⁴+x²+1+2x³+2x²+2x=x⁴+2x³+3x²+2x+1，求得2次系数列．同理根据（x²+x+1）³=（x⁴+2x³+3x²+2x+1）（x²+x+1）=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1，求得3次系数列．
（2）如图所示：根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，可得结论．
（3）根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，再利用组合数公式的性质，可用二项式系数表示

D

3 n

．

名师点评

本题考点：

二项式定理的应用．

考点点评：

本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式的应用，属于中档题．

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