在（x2+x+1）n=D0nx2n+D1nx2n-1+D2nx2n-2+…+D2n-1nx+D2nn（n∈N）的展开式中，把D0n，D1n，D2n，…，D2nn叫做三项式的n次系数列．（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：三项式的2次系数列

Question

在（x²+x+1）ⁿ=D

0

n

x²ⁿ+D

1

n

x^2n-1+D

2

n

x^2n-2+…+D

2n-1

n

x+D

2n

n

（n∈N）的展开式中，把D

0

n

，D

1

n

，D

2

n

，…，D

2n

n

叫做三项式的n次系数列．
（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：
三项式的2次系数列是______；
三项式的3次系数列是______．
（Ⅱ）二项式（a+b）ⁿ（n∈N）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下

①当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数列的数阵表；
②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：C

n

n+1

=C

n

n

+C

n-1

n

，类似的请用三项式的n次系数表示D

k+1

n+1

（1≤k≤2n-1，k∈N）（无须证明）；
（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示D

3

n

．

Answer 1

（Ⅰ）∵（x²+x+1）²=x⁴+x²+1+2x³+2x²+2x=x⁴+2x³+3x²+2x+1，
∴三项式的2次系数列是1，2，3，2，1；
∵（x²+x+1）³=（x⁴+2x³+3x²+2x+1）（x²+x+1）=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1，
∴三项式的3次系数列是1，3，6，7，6，3，1．
（Ⅱ）①列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N）：
                    1
                 1  1   1
              1  2  3   2 1
            1 3  6  7   6 3  1
          1 4 10 16 19 16 10 4 1
②

D

k+1 n+1

=

D

k-1 n

+D

k n

+D

k+1 n

（ 1≤k≤2 n-1 ）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）②可得

D

2 n-1

=1+n-2+

C

2 n-1

=

C

2 n

，
∵

D

1 n-1

=n-1=

C

1 n

-1，
∴由

D

3 n

=

D

1 n-1

+D

2 n-1

+D

3 n-1

得

D

3 n

-

D

3 n-1

=

C

2 n+1

-1
n分别取3，4，…，n代入，累加可得

D

3 n

-

D

3 2

=

C

2 4

+

C

2 5

+

C

2 n+1

-（n-2）=

C

3 n+2

-（n+2），
∵

作业帮用户 2017-09-29