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若正整数n恰好有4个正约数,则称n为奇异数,例如6、8、10都是奇异数,那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有个.
题目详情
若正整数n恰好有4个正约数,则称n为奇异数,例如6、8、10都是奇异数,那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有______个.
▼优质解答
答案和解析
易得奇异数有两类:第一类是质数的立方p3(p是质数),第二类是两个不同质数的乘积p1p2(p1,p2为不同的质数).
∴27=3×3×3=33,是奇异数(第一类);
42=2×3×7不是奇异数;
69=3×23是奇异数(第二类),
111=3×37是奇异数(第二类),
125=53是奇异数(第一类),
137是质数,不是奇异数,
343=73是奇异数(第一类),
899=900-1=(30-1)(30+1)=29×31是奇异数(第二类),
3599=3600-1=(60-1)(60+1)=59×61是奇异数(第二类),
7999=8000-1=203-1=(20-1)(202+20+1)=19×421是奇异数(第二类).
因此符合条件的奇异数有:27,69,111,125,343,899,3599,7999共8个.
故答案为:8.
∴27=3×3×3=33,是奇异数(第一类);
42=2×3×7不是奇异数;
69=3×23是奇异数(第二类),
111=3×37是奇异数(第二类),
125=53是奇异数(第一类),
137是质数,不是奇异数,
343=73是奇异数(第一类),
899=900-1=(30-1)(30+1)=29×31是奇异数(第二类),
3599=3600-1=(60-1)(60+1)=59×61是奇异数(第二类),
7999=8000-1=203-1=(20-1)(202+20+1)=19×421是奇异数(第二类).
因此符合条件的奇异数有:27,69,111,125,343,899,3599,7999共8个.
故答案为:8.
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