（2013•孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙

Question

（2013•孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否总成立？请给出证明；
②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=-x²+x+1上，求此时点F的坐标．

Answer 1

（1）如图1，取AB的中点G，连接EG．               
△AGE与△ECF全等．　                       

（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．
证明：如图2，在AB上截取AM=EC．
∵AB=BC，
∴BM=BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠AME=180°-45°=135°，
又∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AME=∠ECF．       
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AME≌△ECF．
∴AE=EF．       
②过点F作FH⊥x轴于H，
由①知，FH=BE=CH，
设BH=a，则FH=a-1，
∴点F的坐标为F（a，a-1）
∵点F恰好落在抛物线y=-x²+x+1上，
∴a-1=-a²+a+1，
∴a²=2，a=±√(2)（负值不合题意，舍去），
∴a−1＝√(2)−1．
∴点F的坐标为F(√(2)，√(2)−1)．