在平面直角坐标系中,已知点A(1/2,0),点B在直线l:x=-1/2上运动,过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于M点求（1）动点M的轨迹E的方程（2）设点P是轨迹E上的动点,点R,N在y轴上,圆C：（x-1）^2+y^2=1内

Question

在平面直角坐标系中,已知点A(1/2,0),点B在直线l:x=-1/2上运动,过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于M点
求（1）动点M的轨迹E的方程（2）设点P是轨迹E上的动点,点R,N在y轴上,圆C：（x-1）^2+y^2=1内切与△PRN,求△PRN的面积的最小值

Answer 1

（1）设B点纵坐标为t,AB中点坐标为（0,t/2）,斜率为（1,-t）
所以中垂线方程为x-ty+t^2/2=0
联立y=t与中垂线方程有x=y^2/2即为轨迹E方程
（2）设P(m²/2,m),m>2,过P与圆相切的直线与y轴交点为(0,t),
则该直线方程为2(t-m)x+m²y-m²t=0,
由圆心与之距离为1,得(m²-4)t²+4mt-m²=0,
则求得|t1-t2|=2m²/(m²-4),则求得SΔ=m^4/[2(m²-4)]≥8
所以三角形PRN面积最小值为8