设f（x，y）在P0的邻域U（P0）内存在连续的三阶偏导数，并且所有三阶偏导数的绝对值不超过常数M，P1与P2关于P0对称，并且P1与P0的距离为l，l为由P0指向P1的方向，试证：|f(P1)−f(P2)2l−∂f(P0)

Question

设f（x，y）在P₀的邻域U（P₀）内存在连续的三阶偏导数，并且所有三阶偏导数的绝对值不超过常数M，P₁与P₂关于P₀对称，并且P₁与P₀的距离为l，

l

为由P₀指向P₁的方向，试证：|(f(P1)−f(P2))/(2l)−(∂f(P0))/(∂l)|≤(√(2))/(3)Ml2．

Answer 1

证明：设l的方向为（cosθ，sinθ），则 ∂f(P0)∂l＝∂f(P0)∂xcosθ+∂f(P0)∂ysinθ，f（P1）=f（x0+lcosθ，y0+lsinθ），f（P2）=f（x0-lcosθ，y0-lsinθ），设F（t）=f（x0+tcosθ，y0+tsinθ），利用泰...