大学微积分问题,紧急求极限的问题一：用数列的定义证明1:lim{(3n+2)/(n+3)}=3/2(x趋向于无限）2：lim{(根号下n的平方加4）/n}=1(x趋向于无限）二数列Xn有限,又limYn=0(n趋向于无限）,证明limXnYn=0(n向

Question

大学微积分问题,紧急
求极限的问题
一：用数列的定义证明1:lim{(3n+2)/(n+3)}=3/2(x趋向于无限）2：lim{(根号下n的平方加4）/n}=1(x趋向于无限）
二数列Xn有限,又limYn=0(n趋向于无限）,证明lim XnYn=0(n向于无限)
三：有函数极限的定义证明1：lim{(x平方+1）/（2乘以x的平方）}=0.5(x趋向于无限）
四：证明lim lnx=0(x趋向于1

Answer 1

一：用定义证明主要是寻找N
1、对任意ε＞0,考虑到要│(3n+2)/(2n+3)-3/2│=5/(2(2n+3))＜ε
即n＞5/(4ε)-6,于是取N=[5/(4ε)-6]+1,([x]表示x的整数部分)
显然对于任意ε＞0,n＞N时总有│(3n+2)/(2n+3)-3/2│＜ε
于是：lim{(3n+2)/(2n+3)}=3/2
2、对任意ε＞0,考虑到要│√(n^2+1)/n-1│=√(n^2+1)/n-1＜ε
即n＞1/ε,于是取N=[1/ε]+1,
显然对于任意ε＞0,n＞N时总有│√(n^2+1)/n-1│＜ε
于是：lim√(n^2+1)/n=1
二：{Xn}有限,于是{Xn}有界,不妨设│Xn│≤a
于是-a│Yn│≤XnYn≤a│Yn│,-a│Yn│、a│Yn│都是无穷小量,
lim XnYn=0
三：对任意ε＞0,考虑到要│(x^2+1)/(2x^2)-1/2│=1/(2x^2)＜ε
即:x＞√(1/2ε),于是取X=√(1/2ε)
显然对于任意ε＞0,x＞X时总有│(x^2+1)/(2x^2)-1/2│＜ε
于是：lim(x^2+1)/(2x^2)=1/2(x→+∞)
四：对任意ε＞0,考虑到要│lnx│＜ε
于是：e^(-ε)-1＜x-1＜e^ε-1,取δ=min{│e^(-ε)-1│,│e^ε-1│}
显然对于任意ε＞0,0＜│x-1│＜δ时总有│lnx│＜ε
于是：limlnx=0(x→1)