一个导数小问题的理解有句话是这么说的：函数在x=x0处可导,不能得到它的导函数在x0点连续x^2cos(1/x)x≠0有个例子：f(x)=0x=0以及最上面那句话要怎么理解呢?

Question

一个导数小问题的理解
有句话是这么说的：
函数在x=x0处可导,不能得到它的导函数在x0点连续
x^2cos(1/x) x≠0
有个例子：f(x)=
0 x=0
以及最上面那句话要怎么理解呢?

Answer 1

你要明白数学表述的关键点,不要吧原函数和导函数看错了.
数学的表述是这样的,
一个函数在x=x0处可导,那么 函数 在x=x0处 必然 连续.
一个函数在x=x0处可导,那么 导函数 在x=x0处 不一定 连续.
上面的表述你应该看到区别了吧.
另外,函数在某一点是否可导,就相当于导函数在该点时候有意义,这有点像定义域的感觉,明白我的意思了么?
原函数和一阶导数是函数与导函数的关系,一阶导数和二阶导数是函数与导函数的关系,依次类推.
总结来说就是(n+1)阶导数是n阶导数的导函数.0阶导数就是原函数.
就你的这个例题而言.
原函数就是
f(x)= x^2cos(1/x) (x≠0) f(x)= 0 (x=0)
当x≠0时导函数为
f '(x) = 2xcos(1/x) + sin(1/x)
导函数在x≠0时是连续的.
当x=0时,就要根据定义来计算其导数值了.
f '(0) = lim(a→0)[f(0+a) - f(0)]/a = lim(a→0)(a^2cos(1/a))/a = lim(a→0)(acos(1/a)) = lim(a→0)cos(1/a)/(1/a) = lim(t→∞) (cost/t) = 0
因为分母t趋近于无穷大,而cost是个有限值,因此极限为零.
那么导函数的完整表达式就是
| 2xcos(1/x) + sin(1/x) x≠0
f '(x) =