定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M≥0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的一个上界.已知函数f(x)=1+a(12)x+(14)x,g(x)=log121−
定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M≥0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的一个上界.已知函数f(x)=1+a()x+()x,g(x)=log.
(1)若函数g(x)为奇函数,求实数a的值;
(2)若a=-1,判断g(x)在区间[,3]上的单调性(不必证明),并求g(x)上界的最小值;
(3)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
答案和解析
(1)因为函数g(x)为奇函数,
所以g(-x)=-g(x)即:
=,
得a=±1,而当a=1时不合题意,
故a=-1;
(2)由(1)得:g(x)=,
函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
所以函数g(x)在区间[,3]上单调递增,
函数g(x)在区间[,3]上的值域为[-2,-1],
所以|g(x)|≤2,故函数g(x)在区间[,3]上的上界的最小值为2.
(3)由题意知,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立.
-3≤f(x)≤3,-4-()x≤a()x≤2-()x.
∴[−4•2x−()x]max≤a≤[2•2x−()x]min,
设2x=t,h(t)=-4t-,p(t)=2t-,
由x∈[0,+∞)得 t≥1,
设1≤t1<t2,h(t1)-h(t2)=>0,
P(t1)-p(t2)=<0,
所以h(t)在[1,+∞)上递减,显然p(t)在[1,+∞)上递增,
h(t)在[1,+∞)上的最大值为h(1)=-5,
p(t)在[1,+∞)上的最小值为p(1)=1.
所以实数a的取值范围为[-5,1].
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