一个高阶导数的问题证明：函数f（x）是n次多项式,a是f（x）=0的k重根的充要条件是：f（a）=f‘（a）=f‘’（a）=······=f（a）的（k-1）阶倒数=0（k

Question

一个高阶导数的问题
证明：函数f（x）是n次多项式,a是f（x）=0的k重根的充要条件是：f（a）=f ‘（a）=f ‘ ’（a）=······=f（a）的（k-1）阶倒数=0 （k

Answer 1

充分性f(a)=0 则f(x)可以表示为f(x)=g1(x)*(x-a) ,g1(x)是n-1次多项式求导f '(x)=g1'(x)(x-a)+g1(x) 代入x=af '(a)=g1(a)=0 则g1(x)可以表示为g1(x)=g2(x)*(x-a) g2(x)是n-2次多项式所以f(x)=g2(x)*(x-a)^2以此类推f（a）的（k-1）阶倒数=0 可得f(x)=gk(x)*(x-a)^k gk(x)是n-k次多项式f（a）的k阶导数不为0.可知gk(a)不等于0所以x=a是f（x）的k重根必要性x=a是f（x）的k重根则f（x）必然可以写成f(x)=g(x)*(x-a)^k 形式,其中g(x)是n-k次多项式 且g(a)不等于0求导f '(x)=g'(x)(x-a)^k+g(x)*k(x-a)^(k-1)f"(x)=g"(x)(x-a)^k+2g'(x)*k(x-a)^(k-1)+g(x)*k(k-1)(x-a)^k-2...f（x）的（k-1）阶导=g的k-1阶导*(x-a)^k+k*g的k-2阶导*k(x-a)^(k-1)+k(k-1)*g的k-3阶导*k(k-1)(x-a)^k-2+.+g(x)*k*(k-1)*(k-2)*...*1*(x-a)把x=a代入,可知f（a）=f ‘（a）=f ‘ ’（a）=······=f（a）的（k-1）阶倒数=0（因为每一项都含有(x-a)）而f（x）的k阶导数最后一项会出现 g(x)*k*(k-1)*(k-2)*...*1 又g（a）不等于0所以f（a）k阶导数不为0原命题得证