设A=122212221求正交矩阵P,使PTAP成为对角形.求的特征值5、-1（2重根）,当特征值为-1,我求得基础解系为（-1,1,0)T和（-1,0,1)T,请问和答案给的(1,-1,0）和(1,0,-1)是一样的吗,求出的正交P也差

Question

设 A= 1 2 2 2 1 2 2 2 1 求正交矩阵P,使PTAP成为对角形.
求的特征值5、-1（2重根）,当特征值为-1,我求得基础解系为（-1,1,0)T 和（-1,0,1)T,请问和答案给的(1,-1,0）和 (1,0,-1)是一样的吗,求出的正交P也差个负号,是对的吗

Answer 1

设A的特征值为λ
则|A-λE|=
1-λ 2 2
2 1-λ 2
2 2 1-λ 第1行减去第2行
=
-1-λ 1+λ 0
2 1-λ 2
2 2 1-λ 第2列加上第1列
=
-1-λ 0 0
2 3-λ 2
2 4 1-λ 按第1行展开
=(-1-λ)(λ²-4λ-5)=0
解得λ=5,-1,-1
当λ=5时,
A-5E=
-4 2 2
2 -4 2
2 2 -4 第1行加上第2行×2,第3行减去第2行
0 -6 6
2 -4 2
0 6 -6 第1行加上第3行,第2行加上第3行×3/2,第3行除以6
0 0 0
2 0 -2
0 1 -1 第2行除以2,交换次序
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
得到特征向量(1,1,1)^T
当λ= -1时,
A+E=
2 2 2
2 2 2
2 2 2 第2行减去第1行,第3行减去第1行,第1行除以2
1 1 1
0 0 0
0 0 0
得到特征向量(1,-1,0)^T和(0,1,-1)^T
正交化为(1,-1,0)^T和(1,1,-2)^T
于是正交矩阵P为
1 1 1
1 -1 1
1 0 -2