已知函数f（x）=alnx+x2-ax（a∈R）．（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；（2）求g（x）=f（x）-2x在区间[1，e]的最小值h（a）．

Question

已知函数f（x）=alnx+x²-ax（a∈R）．
（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；
（2）求g（x）=f（x）-2x在区间[1，e]的最小值h（a）．

Answer 1

（1）f′（x）=(a)/(x)+2x-a（x>0）．
∵x=3是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（3）=(a)/(3)+6-a=0，解得a=9，
∴f′（x）=((2x-3)(x-3))/(x)，
∴0<x<(3)/(2)或x>3时，f′（x）>0，(3)/(2)<x<3时，f′（x）<0，
∴x=3是函数f（x）的一个极小值点，
（2）g（x）=alnx+x²-ax-2x，x∈[1，e]，
g′（x）=((2x-a)(x-1))/(x)，
①(a)/(2)≤1即a≤2时，g（x）在[1，e]递增，
g（x）_min=g（1）=-a-1；
②1<(a)/(2)<2即2<a<2e时，
g（x）在[1，(a)/(2)）递减，在（(a)/(2)，e]递增，
故g（x）_min=g（(a)/(2)）=aln(a)/(2)-(a2)/(4)-a；
③(a)/(2)≥e即a≥2e时，g（x）在[1，e]递减，
故g（x）min=g（e）=a（1-e）+e（e-2）；
综上h（a）=

-a-1，a≤2

aln(a)/(2)-(a2)/(4)-a，2<a<2e

a(1-e)+e(e-2)，a≥2e

．