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已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且limx→0,y→0f(x,y)-xy(x2+y2)2=1,则()A.点(0,0)不是f(x,y)的极值点B.点(0,0)是f(x,y)的极大值点C.点(0,0)是f(x
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已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且
=1,则( )
A.点(0,0)不是f(x,y)的极值点
B.点(0,0)是f(x,y)的极大值点
C.点(0,0)是f(x,y)的极小值点
D.根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点
lim |
x→0,y→0 |
f(x,y)-xy |
(x2+y2)2 |
A.点(0,0)不是f(x,y)的极值点
B.点(0,0)是f(x,y)的极大值点
C.点(0,0)是f(x,y)的极小值点
D.根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点
▼优质解答
答案和解析
由
=1知,
因此分母的极限趋于0,故分子的极限必为零,
从而有f(0,0)=0;
因为极限等于1;故f(x,y)-xy~(x2+y2)2(|x|,|y|充分小时),
于是f(x,y)~xy+(x2+y2)2.
因为:f(0,0)=0;
所以:f(x,y)-f(0,0)~xy+(x2+y2)2.
可见当y=x且|x|充分小时,
f(x,y)-f(0,0)≈x2+4x4>0;
而当y=-x且|x|充分小时,f(x,y)-f(0,0)≈-x2+4x4<0.
故点(0,0)不是f(x,y)的极值点.
故选:A.
lim |
x→0,y→0 |
f(x,y)-xy |
(x2+y2)2 |
因此分母的极限趋于0,故分子的极限必为零,
从而有f(0,0)=0;
因为极限等于1;故f(x,y)-xy~(x2+y2)2(|x|,|y|充分小时),
于是f(x,y)~xy+(x2+y2)2.
因为:f(0,0)=0;
所以:f(x,y)-f(0,0)~xy+(x2+y2)2.
可见当y=x且|x|充分小时,
f(x,y)-f(0,0)≈x2+4x4>0;
而当y=-x且|x|充分小时,f(x,y)-f(0,0)≈-x2+4x4<0.
故点(0,0)不是f(x,y)的极值点.
故选:A.
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