如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12．（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的体积；（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=(1)/(2)．

（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的体积；
（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是M_底面=(1)/(2)(BC+AD)•AB=(1+0.5)/(2)×1＝(3)/(4)（2分）
∴四棱锥S-ABCD的体积是V＝(1)/(3)×SA×M底面＝(1)/(3)×1×(3)/(4)＝(1)/(4)；（4分）
（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连接SE，
则SE是所求二面角的棱（6分）
∵AD∥BC，BC=2AD
∴EA=AB=SA，
∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，
EB是交线．又BC⊥EB，
∴BC⊥面SEB，
故SB是SC在面SEB上的射影，
∴CS⊥SE，
所以∠BSC是所求二面角的平面角（10分）
∵SB=√(SA2+AB2)＝√(2)，BC＝1，BC⊥SB
∴tan∠BSC=(BC)/(SB)＝(√(2))/(2)
即所求二面角的正切值为(√(2))/(2)．（12分）