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如图:已知四棱锥P-ABCD中,底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC中点.(1)求证:平面EDB⊥平面PBC;(2)求二面角B-DE-C的平面角的正切值.
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如图:已知四棱锥P-ABCD中,底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC中点.
(1)求证:平面EDB⊥平面PBC;
(2)求二面角B-DE-C的平面角的正切值.
(1)求证:平面EDB⊥平面PBC;
(2)求二面角B-DE-C的平面角的正切值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵面PDC⊥底面ABCD,交线为DC,∴DE在平面ABCD内的射影就是DC.
在正方形ABCD中,DC⊥CB,∴DE⊥CB.
又PC∩BC=C,PC,BC⊂面PBC,∴DE⊥面PBC.
又DE⊂面EDB,
∴平面EDB⊥平面PBC.
(2)由(1)的证明可知:DE⊥面PBC,所以,∠BEC就是二面角B-DE-C的平面角.
∵面PDC⊥底面ABCD,交线为DC,平面ABCD内的直线CB⊥DC.
∴CB⊥面PDC.
又PC⊂面PDC,∴CB⊥PC.
在Rt△ECB中,tan∠BEC=
=2.
在正方形ABCD中,DC⊥CB,∴DE⊥CB.
又PC∩BC=C,PC,BC⊂面PBC,∴DE⊥面PBC.
又DE⊂面EDB,
∴平面EDB⊥平面PBC.
(2)由(1)的证明可知:DE⊥面PBC,所以,∠BEC就是二面角B-DE-C的平面角.
∵面PDC⊥底面ABCD,交线为DC,平面ABCD内的直线CB⊥DC.
∴CB⊥面PDC.
又PC⊂面PDC,∴CB⊥PC.
在Rt△ECB中,tan∠BEC=
BC |
CE |
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