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如图,S是正方形ABCD所在平面外一点,且SD⊥面ABCD,AB=1,SB=3.(1)求证:BC⊥SC;(2)设M为棱SA中点,求异面直线DM与SB所成角的大小(3)求面ASD与面BSC所成二面角的大小.
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如图,S是正方形ABCD所在平面外一点,且SD⊥面ABCD,AB=1,SB=
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(1)求证:BC⊥SC;
(2)设M为棱SA中点,求异面直线DM与SB所成角的大小
(3)求面ASD与面BSC所成二面角的大小.
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(1)求证:BC⊥SC;
(2)设M为棱SA中点,求异面直线DM与SB所成角的大小
(3)求面ASD与面BSC所成二面角的大小.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵底面ABCD是正方形,∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD,
∴SD⊥BC,又DC∩SD=D,
∴BC⊥平面SDC,
∴BC⊥SC.…(4分)
(2)取AB中点P,连接MP,DP.
在△ABS中,由中位线定理得MP∥SB,
∴∠DMP或其补角为所求.
∵MP=
SB=
,又DM=
,DP=
=
,
∴在△DMP中,有DP2=MP2+DM2,∴∠DMP=90°,
即异面直线DM与SB所成的角为90°.…(8分)
(3)∵SD⊥底面ABCD,且ABCD为正方形,
∴可把四棱锥S-ABCD补形为长方体A1B1C1S-ABCD,
如图2,面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角,
∵SC⊥BC,BC∥A1S,∴SC⊥A1S,
又SD⊥A1S,∴∠CSD为所求二面角的平面角.
在Rt△SCB中,由勾股定理得SC=
,
在Rt△SDC中,
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角为45°.…(12分)
∵SD⊥底面ABCD,
∴SD⊥BC,又DC∩SD=D,
∴BC⊥平面SDC,
∴BC⊥SC.…(4分)
(2)取AB中点P,连接MP,DP.
在△ABS中,由中位线定理得MP∥SB,
∴∠DMP或其补角为所求.
∵MP=
1 |
2 |
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2 |
| ||
2 |
1+(
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2 |
∴在△DMP中,有DP2=MP2+DM2,∴∠DMP=90°,
即异面直线DM与SB所成的角为90°.…(8分)
(3)∵SD⊥底面ABCD,且ABCD为正方形,
∴可把四棱锥S-ABCD补形为长方体A1B1C1S-ABCD,
如图2,面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角,
∵SC⊥BC,BC∥A1S,∴SC⊥A1S,
又SD⊥A1S,∴∠CSD为所求二面角的平面角.
在Rt△SCB中,由勾股定理得SC=
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在Rt△SDC中,
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角为45°.…(12分)
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