如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，PC=2a，E、F分别是PA和AB的中点．（1）求证：EF∥面PBC；（2）求证：平面PDB⊥平面PAC；（3）求EF与平面PAC所成的角的正切值．

Question

如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，PC=2a，E、F分别是PA和AB的中点．
（1）求证：EF∥面PBC；
（2）求证：平面PDB⊥平面PAC；
（3）求EF与平面PAC所成的角的正切值．

Answer 1

（1）证明：∵AE=PE，AF=BF，∴EF∥PB
又 EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，
∴EF∥平面PBC
（2）证明∵PC⊥面ABCD∴PC⊥BD
∵四边形ABCD为菱形∴AC⊥BD
又∵PC∩AC=C
∴BD⊥面PAC∵BD⊂面PBD
∴面PBD⊥面PCD
（3）记BD∩AC=O，连PO．由 （2）知BD⊥面PAC
又EF∥PB，∴∠BPO为EF与平面PAC所成的角
在△ABC中∵BC=a，∠ABC=60°，∴CO=(a)/(2)，BO=(√(3))/(2)a．
在Rt△POC中PO=√(CO2+PC2)=(√(17))/(2)a，故 tan∠BPO=(BO)/(PO)=(√(51))/(17)
所以直线EF与平面PAC所成的角的正切值为(√(51))/(17)