在空间坐标系中,一个面f(x)上某一点的切面与xoy平面形成角的cos值为什么等于1/(根号1+f(x)对x偏导数的平方+f(x)对y偏导数的平方),怎么算出来的?

Question

在空间坐标系中,一个面f(x)上某一点的切面与xoy平面形成角的cos值为什么等于 1/(根号1+f(x)对x偏导数的平方+f(x)对y偏导数的平方),怎么算出来的?

Answer 1

可以自己推导一下：
由于已知切平面在x和y两个方向的切线斜率分别为偏导 fx' 和 fy',因此该切平面平行于：
z＝fx' * x + fy' * y
其法向量为：n1＝(fx',fy',-1).
xoy平面的方程为：z=0,其法向量为n1＝(0,0,-1)
因此切平面与xoy所成二面角余弦等于这两个面的单位法向量之点积：
cosα＝n1·n2/ (|n1||n2|) ＝ 1 / √(1+fx'^2+fy'^2)
也可以通过立体几何的方法推导出来,不过需要计算.