设可微函数f（x）满足A．f（0）是f（x）的极小值B．f（0）是f（x）的极大值C．（0，f（0））是曲线y=f（x）的拐点D．f（0）不是f（x）的极值，（0，f（0））也不是曲线y=f（x）的拐点

Question

设可微函数f（x）满足
A．f（0）是f（x）的极小值
B．f（0）是f（x）的极大值
C．（0，f（0））是曲线y=f（x）的拐点
D．f（0）不是f（x）的极值，（0，f（0））也不是曲线y=f（x）的拐点

Answer 1

因为f（x）可微，
所以f（x）连续，则由

lim

x→0

(f(x))/(x)＝0，可得：
f（0）=0，f′(0)＝

lim

x→0

(f(x)−f(0))/(x−0)＝0，
令t=x-u，得：

∫

x0

f(x−u)du＝

∫

x0

f(t)dt，
从而：
xf′(x)+

∫

x0

f(x−u)du＝xf′(x)+

∫

x0

f(t)dt
由：xf′(x)+

∫

x0

f(x−u)du＝sin2x，
得：
f′(x)＝(sin2x−∫x0f(t)dt)/(x)，x≠0，
∴f″(0)＝

lim

x→0

(f′(x)−f′(0))/(x−0)＝

lim

x→0

(sin2x−∫x0f(t)dt)/(x2)
=

lim

x→0

(sin2x)/(x2)−

lim

x→0

(∫x0f(t)dt)/(x2)＝1−

lim

x→0

(f(x))/(2x)＝1−0＝1＞0，
从而：f′（0）=0，f″（0）＞0，
∴f（0）是f（x）的极小值，
故选：A．