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设f（x）在x=0的某邻域内二阶连续可导，且f′（0）=0，limx→0xf″(x)1−cosx=1，则（）A．f″（0）≠0，但（0，f（0））为y=f（x）的拐点B．f″（0）=0，且f（0）为f（x）的极小值C．f″（0）
题目详情
设f（x）在x=0的某邻域内二阶连续可导，且f′（0）=0，
=1，则（ ）
A．f″（0）≠0，但（0，f（0））为y=f（x）的拐点
B．f″（0）=0，且f（0）为f（x）的极小值
C．f″（0）=0，且（0，f（0））为y=f（x）的拐点
D．f″（0）≠0且f（0）为f（x）的极小值
| lim |
| x→0 |
| xf″(x) |
| 1−cosx |
A．f″（0）≠0，但（0，f（0））为y=f（x）的拐点
B．f″（0）=0，且f（0）为f（x）的极小值
C．f″（0）=0，且（0，f（0））为y=f（x）的拐点
D．f″（0）≠0且f（0）为f（x）的极小值
▼优质解答
答案和解析
因为
＝1≠0，
所以
f″(x)＝0．
又因为f（x）在x=0的某邻域内有二阶连续导数，
于是f″（0）=
f″(x)＝0．
因为
＝1＞0，
根据极限的保号性，
在x=0的某去心邻域内必然有xf″（x）＞0，
即f″（x）在x=0两侧变号，
于是（0，f（0））为曲线的拐点．
综上，f″（0）=0，（0，f（0））为曲线的拐点．
故选：C．
| lim |
| x→0 |
| xf″(x) |
| 1−cosx |
所以
| lim |
| x→0 |
又因为f（x）在x=0的某邻域内有二阶连续导数，
于是f″（0）=
| lim |
| x→0 |
因为
| lim |
| x→0 |
| xf″(x) |
| 1−cosx |
根据极限的保号性，
在x=0的某去心邻域内必然有xf″（x）＞0，
即f″（x）在x=0两侧变号，
于是（0，f（0））为曲线的拐点．
综上，f″（0）=0，（0，f（0））为曲线的拐点．
故选：C．
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