下列条件中，能够推出f（x，y）在（x0，y0）可微且全微分为零的是（）A．f′x（x0，y0）=f′y（x0，y0）=0B．△f（x0，y0）=△x△y(△x)2+(△y)2C．△f（x0，y0）=sin((△x)2+(△y)2)(△x)2+(△y)2D．

Question

下列条件中，能够推出f（x，y）在（x₀，y₀）可微且全微分为零的是（　　）

A．f′_x（x₀，y₀）=f′_y（x₀，y₀）=0
B．△f（x₀，y₀）=(△x△y)/(√((△x)2+(△y)2))
C．△f（x₀，y₀）=(sin((△x)2+(△y)2))/(√((△x)2+(△y)2))
D．△f（x₀，y₀）=(√((△x)2+(△y)2))/(ln[(△x)2+(△y)2])

Answer 1

①选项A．偏导数的存在，并不能推出函数可微分．故A错误．
②选项B．由于△f（x₀，y₀）=(△x△y)/(√((△x)2+(△y)2))在△x→0，△y→0时，△f（x₀，y₀）极限不存在，因此f（x，y）在（x₀，y₀）不连续，因而也就不可微了．
③选项C．由于在△x→0，△y→0时，sin（（△x）²+（△y）²）～（△x）²+（△y）²
∴当△y=0时，

lim

△x→0

(△f(x0，y0))/(△x)＝

lim

△x→0

√(1+((△y)/(△x))2)＝1
当△x=0时，

lim

△y→0

(△f(x0，y0))/(△x)＝

lim

△y→0

√(1+((△x)/(△y))2)＝1
∴f（x，y）在（x₀，y₀）全微分不为零
故C错误．
④选项D．由△f（x₀，y₀）=(√((△x)2+(△y)2))/(ln[(△x)2+(△y)2])，根据偏导数的定义，容易求出f′_x（x₀，y₀）=f′_y（x₀，y₀）=0
且

lim

ρ→0

(△f(x0，y0))/(ρ)＝

lim

ρ→0

(1)/(ln[(△x)2+(△y)2])＝0（其中ρ＝√((△x)2+(△y)2)）
∴由全微分的定义知，f（x，y）在（x₀，y₀）可微且全微分为零
故选：D．