已知P，A，B，C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P-ABC的体积为934，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（）A.4πB.323πC.16πD.12π

Question

已知P，A，B，C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P-ABC的体积为

(9√(3))/(4)，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（　　）

A. 4π

B.

(32)/(3)π

C. 16π

D. 12π

Answer 1

如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，
设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，
∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，
OB=OP=R，
∴OS=(R)/(2)，BS=(√(3))/(2)R，
∴(2√(3))/(3)a=(√(3))/(2)R，解得a=(3)/(4)R，2a=(3)/(2)R，
∵三棱锥P-ABC的体积为 (9√(3))/(4)，∴(1)/(3)×(1)/(2)×(1)/(2)×(3)/(2)R×(3)/(2)Rsin60°×(3)/(2)R=(9√(3))/(4)，
解得R=2，
∴球O的表面积S=4πR²=16π．
故选：C．