如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=2，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：CO⊥面VAB；（3）求三棱锥C-VAB的体积．

Question

如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=√(2)，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：CO⊥面VAB；
（3）求三棱锥C-VAB的体积．

Answer 1

证明：（1）∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴VB∥OM，又VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴VB∥平面MOC．
（2）∵AC=BC，O是AB的中点，
∴OC⊥AB，
又平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC=AB，OC⊂平面ABC，
∴OC⊥平面VAB．
（3）∵AC⊥BC且AC=BC=√(2)，∴AB=2．
∴OC=(1)/(2)AB=1．
∵△VAB为等边三角形，
∴S_△VAB=(1)/(2)×2×2×sin60°=√(3)．
∴V_C-VAB=(1)/(3)S△VAB•OC=(1)/(3)×√(3)×1=(√(3))/(3)．