下面一组图是某一四棱锥S-ABCD的侧面和底面，且点C为离点S最远的顶点，(1)画出四棱锥S-ABCD的示意图，并判断是否存在一条侧棱垂直于底面？说明理由(2)若E为AB的中点，求点A到平面BDE的距

Question

下面一组图是某一四棱锥S-ABCD的侧面和底面，且点C为离点S最远的顶点，

(1)画出四棱锥S-ABCD的示意图，并判断是否存在一条侧棱垂直于底面？说明理由
(2)若E为AB的中点，求点A到平面BDE的距离
(3)若S-ABCD外接于球O，求S、C两点的球面距离．____

Answer 1

【分析】(1)由 SA⊥AB，SA⊥AD 可得，存在一条侧棱SA垂直于底面．
\n(2)证明出BD⊥面SAC即可证出平面SAC⊥平面SBD，由面面垂直的性质定理，由A向平面SAC与平面SBD的交线作垂线，构造直角三角形解决点A到平面SBD的距离．
\n(3)SC为S-ABCD外接于球O的直径，则S、C两点的球面距离为大圆的周长的一半．

(1)存在一条侧棱SA⊥平面ABCD，如图所示．

\n∵在ΔSAB中，SA⊥AB，在ΔSAD中，SA⊥AD
\n又∵AB∩AD=A，
\n∴SA⊥平面ABCD．
\n(2)⇒BD⊥SA
\n又BD⊥AC，AC∩SA=A
\n由线面垂直的判定定理，
\nBD⊥面SAC，又BD⊂面SBD
\n由面面垂直的判定定理平面SAC⊥平面SBD
\n设O为底面中心，则平面SAC∩平面SBD=SO

\n过A作AH⊥SO，垂足为H，由面面垂直的性质定理，AH⊥面SBD，
\n所以AH即为所求，在直角三角形SAO中，SO²=SA²+AO^2₌=
\n SA×AO=SO×AH，
\n∴AH==
\n(3)SC为S-ABCD外接于球O的直径，则S、C两点的球面距离

【点评】本题考查线面垂直、面面垂直定义，判定，性质．以及空间距离的求解．平面问题与空间问题相互转化的思想方法，考查计算能力．