（2014•温州二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，AB=1，BC=2，∠ABC=45°，点E在PC上，AE⊥PC．（Ⅰ）证明：平面AEB⊥平面PCD；（Ⅱ）若二面角B-AE-D的大小为150°

Question

（2014•温州二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，AB=1，BC=√(2)，∠ABC=45°，点E在PC上，AE⊥PC．
（Ⅰ）证明：平面AEB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若二面角B-AE-D的大小为150°，求∠PDC的大小．

Answer 1

（本小题14分）
（I）证明：∵AB=1，BC＝√(2)，∠ABC=45°，
∴AB⊥AC…（2分）
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵AC∩AP=A
∴AB⊥平面PAC，又∵AB∥CD
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥AE…（4分）
又∵AE⊥PC，又∵PC∩CD=C
∴AE⊥平面PCD…（6分）
又∵AE⊂平面AEB
∴平面AEB⊥平面PCD…（7分）
（II）解法一：∵AB⊥平面PAC，AB⊂平面AEB，
∴平面AEB⊥平面PAC，又∵二面角B-AE-D的大小为150°．
∴二面角C-AE-D的大小等于150°-90°=60°．…（10分）
又∵AE⊥平面PCD，∴CE⊥AE，DE⊥AE，
∴∠CED为二面角C-AE-D的平面角，即∠CED=60°．…（12分）
∵CD=1，∠ECD=90°，∴CE＝(√(3))/(3)．，∵△AEC∽△PAC，
∴(CE)/(AC)＝(AC)/(CP)，即CP＝(AC2)/(CE)＝√(3)，
∴tan∠PDC＝(PC)/(CD)＝√(3)，∴∠PDC=60°．…（14分）
（Ⅱ）解法二：如图，以A为原点，AB，AC，AP所在射线为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系
A-xyz，设AP=t，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（-1，1，0），P（0，0，t）．
∵AB⊥PC，AE⊥PC，∴PC⊥平面ABE，
∴平面ABE的一个法向量为

n

＝

PC

＝(0，1，−t)．…（9分）
∵AE⊥PC，∴AE＝(t)/(作业帮用户2017-11-08问题解析（I）由已知条件推导出AB⊥AC，PA⊥AB，从而得到AB⊥平面PAC，进而得到CD⊥平面PAC，由此能证明平面AEB⊥平面PCD．（II）法一：由已知条件推导出二面角C-AE-D的大小为60°，∠CED为二面角C-AE-D的平面角，由此能求出∠PDC的大小．（Ⅱ）法二：以A为原点，AB，AC，AP所在射线为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出∠PDC的大小．名师点评本题考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．考点点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)