已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，圆C的参数方程为x＝1+2cosαy＝3+2sinα（α为参数），点Q的极坐标为（4，-2π3）．（Ⅰ）写出圆C的

Question

已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，圆C的参数方程为

x＝1+2cosα

y＝√(3)+2sinα

（α为参数），点Q的极坐标为（4，-(2π)/(3)）．
（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程和极坐标方程；
（Ⅱ）已知点P是圆C上的任意一点，求P，Q两点间距离的最小值．

Answer 1

（I）由圆C的参数方程为

x＝1+2cosα

y＝√(3)+2sinα

，消去参数α可得(x−1)2+(y−√(3))2＝4，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化为ρ2−2ρcosθ−2√(3)ρsinθ=0，化为ρ＝4cos(θ−(π)/(3))．
（II）点Q的极坐标为（4，-(2π)/(3)），∴x_Q=4cos(−(2π)/(3))=-2，y_Q=4sin(−(2π)/(3))=-2√(3)，∴Q(−2，−2√(3))．
设P(1+2cosα，√(3)+2sinα)，
则|PQ|=√((1+2cosα+2)2+(√(3)+2sinα+2√(3))2)=√(40+24cos(α−(π)/(3)))≥√(40−24)=4，当α＝(4π)/(3)时，取等号．
∴P，Q两点间距离的最小值为4．