在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=-1+tcosαy=tsinα（t为参数，α∈（0，π2）），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l与曲线C有

Question

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=-1+tcosα

y=tsinα

（t为参数，α∈（0，(π)/(2)）），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）若直线l与曲线C有且仅有一个公共点M，求点M的直角坐标；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为(1)/(2)，求直线l的普通方程．

Answer 1

（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐标方程为：x²-4x+y²=0，即（x-2）²+y²=4．
把直线l的参数方程

x=-1+tcosα

y=tsinα

代入上式并整理得t²-6tcosα+5=0．
令△=（6cosα）²-20=0，解得cosα=(√(5))/(3)，sinα=(2)/(3)，t=√(5)．
∴点M的直角坐标为((2)/(3)，(2√(5))/(3))．
（2）设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=6cosα．
线段AB的中点对应的参数为t0=(t1+t2)/(2)=3cosα．
则-1+3cos2α=(1)/(2)，解得cosα=(√(2))/(2)，α=(π)/(4)．
∴直线l的普通方程为x-y+1=0．