在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为x=sinθ+cosθy=sin2θ（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方

Question

在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为

x=sinθ+cosθ

y=sin2θ

（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+ (π)/(4) ）= (2)/(2) t （其中t为常数）．
（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；
（2）当t=-2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．

Answer 1

（1）曲线M

x=sinθ+cosθ

y=sin2θ

（θ为参数），即 x ² =1+y，即 y=x ² -1．
把曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+ (π)/(4) ）= (2)/(2) t （其中t为常数）化为直角坐标方程为 x+y-t=0．
由曲线N与曲线M只有一个公共点，可得

y =x 2 -1

x+y-t=0

有唯一解，即 x ² +x-1-t=0 有唯一解，
故有△=1+4+4t=0，解得t=- (5)/(4) ．
（2）当t=-2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=- (5)/(4) ，
故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+ (5)/(4) =0之间的距离，为 (|2-(5)/(4)|)/(2) = (32)/(8) ．