以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C1的参数方程为x=cosαy=sinα，（α为参数，且α∈[0，π]），曲线C2的极坐标方

Question

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C₁的参数方程为

x=cosα

y=sinα

，（α为参数，且α∈[0，π]），曲线C₂的极坐标方程为ρ=-2sinθ．
（Ⅰ）求C₁的极坐标方程与C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P是C₁上任意一点，过点P的直线l交C₂于点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．

Answer 1

（1）消去参数可得x²+y²=1，由α∈[0，π），则-1⩽x⩽1，0⩽y⩽1，
∴曲线C₁是x²+y²=1在x轴上方的部分，
∴曲线C₁的极坐标方程为ρ=1（0⩽θ⩽π）．…（2分）
曲线C₂的直角坐标方程为x²+（y+1）²=1；…（5分）
（2）设P（x₀，y²），则0⩽y₀⩽1，直线l的倾斜角为α，
则直线l的参数方程为：{x=x₀+tcosαy=y₀+tsinα}（t为参数）．…（7分）
代入C₂的直角坐标方程得（x₀+tcosα）²+（y₀+tsinα+1）²=1，
由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|⋅|PN|=|1+2y₀|，
因为0⩽y²⩽1，
∴|PM|⋅|PN|=∈[1，3]…（10分）