已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上不同于顶点的任意一点，若直线PA、PB的斜率之积为12．（Ⅰ）求双曲线C的离心率e；（Ⅱ）若过点P作斜率为k（k≠

Question

已知双曲线C：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上不同于顶点的任意一点，若直线PA、PB的斜率之积为(1)/(2)．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率e；
（Ⅱ）若过点P作斜率为k（k≠±(b)/(a)）的直线l，使得l与双曲线C有且仅有一个公共点，记直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，问是否存在实数λ使得(1)/(k1)+(1)/(k2)=λk．

Answer 1

（1）设P（m，n），又A（-a，0），B（a，0），
则k_PA=(n)/(m+a)，k_PB=(n)/(m−a)，
∵k_PA•k_PB=(1)/(2)，∴(n)/(m+a)•(n)/(m−a)=(1)/(2)，
即m²-2n²=a²，又(m2)/(a2)−(n2)/(b2)＝1，
∴b²=(1)/(2)a²，即c²-a²=(1)/(2)a²，e²=(3)/(2)，
即e=(√(6))/(2)；
（2）∵l与双曲线有且只有一个公共点，且l的斜率k（k≠±(b)/(a)）即l不平行于渐近线，
∴P为切点，
∵双曲线C：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）上一点M（x₀，y₀）的切线方程为(x0x)/(a2)−(y0y)/(b2)=1
∴直线l的方程为(mx)/(a2)−(ny)/(b2)=1即mx-2ny=2b²即k=(m)/(2n)，
又(1)/(k1)=(m+c)/(n)，(1)/(k2)=(m−c)/(n−0)，
∴(1)/(k1)+(1)/(k2)=(2m)/(n)
故存在λ=4，使得(1)/(k1)+(1)/(k2)=4k．