曲面2^(x/z)+2^(y/z)在点M(2,2,1)处的切平面和法线方程,

Question

曲面2^(x/z)+2^(y/z)在点M (2,2,1)处的切平面和法线方程,

Answer 1

应该是2^(x/z)+2^(y/z)=8吧?
令F(x,y,z)=2^(x/z)+2^(y/z)-8=0,
∂F/∂x=2^(x/z)*ln2(1/z),
在M(2,2,1)处,
∂F/∂x=2^2*ln2/1=4ln2,
∂F/∂y=2^(y/z)*ln2(1/z),
在M(2,2,1)处,
∂F/∂y=2^2ln2=4ln2,
∂F/∂z=2^(x/z)*ln2(-x/z^2)+2^(y/z)*ln2(-y/z^2)
在M(2,2,1)处,
∂F/∂z=2^2ln2(-2)+2^2ln2(-2)
=-16ln2,
切平面法向量n=(4ln2,4ln2,-16ln2),
∴切平面方程为:4ln2(x-2)+4ln2(y-2)+(-16ln2)(z-1)=0,
x-2+y-2-4(z-1)=0,
∴x+y-4z=0.
法线方程为:(x-2)/(4ln2)=(y-2)/(4ln2)=(z-1)/(-16ln2)
即:(x-2)/1=(y-2)/1=(z-1)/(-4).