设抛物线y2=4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作直线l交抛物线于A，B两点．若直线l的斜率依次取p，p2，…，pn时，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为N1，N2，…，Nn，当0＜p＜1时

Question

设抛物线y²=4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作直线l交抛物线于A，B两点．若直线l的斜率依次取p，p²，…，pⁿ时，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为N₁，N₂，…，N_n，当0＜p＜1时，求S＝(1)/(|N1N2|)+(1)/(|N2N3|)+…+(1)/(NnNn+1)+…的值．

Answer 1

∵抛物线y²=4px（p＞0）准线为x=-p
∴M（-p，0），可得直线l的方程为y=pⁿ（x+p）
与抛物线y²=4px消去x，得y²-(4p)/(pn)y+4p²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
可得y₁+y₂=(4p)/(pn)，y₁y₂=4p²，所以x₁+x₂=(1)/(4p)（y₁²+y₂²）=p((4)/(p2n)−2)
∴线段AB的中点坐标为（(x1+x2)/(2)，(y1+y2)/(2)），即（p((2)/(p2n)−1)，(2p)/(pn)）
因此，线段AB的垂直平分线为y-(2p)/(pn)=(−1)/(pn)[x-p((2)/(p2n)−1)]
令y=0，得x_n=((2)/(p2n)+1)p，得当斜率kn＝pn时，Nn(((2)/(p2n)+1)p，0)．
因此，|N_nN_n+1|=|x_n+1-x_n|=|((2)/(p2n+2)+1)p−((2)/(p2n)+1)p|＝(2(1−p2))/(p2n+1)(0＜p＜1)，
所以(1)/(|NnNn+1|)＝(p2n+1)/(2(1−p2))＝

作业帮用户 2016-11-26

问题解析

根据题意，设直线l的方程为y=pⁿ（x+p），与抛物线方程联解算出AB的中点坐标为（p(

(2)/(p2n)−1)，(2p)/(pn)），从而得到AB中垂直方程，然后在此方程中令y=0，得到得当斜率kn＝pn时N_n的横坐标为((2)/(p2n)+1)p．由此代入算出(1)/(|NnNn+1|)关于p的表达式，证出{(1)/(NnNn+1)}成公比为p²＜1的等比数列，利用无穷递缩等比数列的求和公式即可算出S的值．

名师点评

本题考点：

抛物线的简单性质．

考点点评：

本题着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率与等比数列的通项与求和公式等知识，属于中档题．本题综合了几何与代数中的主干知识，是一道不错的综合题型．

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