如图，已知椭圆E的中心为O，长轴的两个端点为A，B，右焦点为F，且AF＝7FB，椭圆E的右准线l的方程为x=163（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若N为准线l上一点（在x轴上方），AN与椭圆交于点M

Question

如图，已知椭圆E的中心为O，长轴的两个端点为A，B，右焦点为F，且

AF

＝7

FB

，椭圆E的右准线l的方程为x=(16)/(3)
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若N为准线l上一点（在x轴上方），AN与椭圆交于点M，且

AN

•

MF

＝0，

AM

＝λ

MN

，求λ．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），则
∵

AF

＝7

FB

，
∴a+c=7（a-c），
∴3a=4c①，
∵椭圆E的右准线l的方程为x=(16)/(3)，
∴(a2)/(c)=(16)/(3)②
解①②可得a=4，c=3，
∴b²=a²-c²=7，
∴椭圆E的标准方程为(x2)/(16)+(y2)/(7)＝1；
（Ⅱ）设M（x，y），由

AN

•

MF

＝0，可得（x+4）（3-x）-y²=0，
∴y²=-x²-x+12，
∴M满足(x2)/(16)+(y2)/(7)＝1，
消去y，可得9x²+16x-80=0，
解得x=(20)/(9)或x=-4（舍去）
∵

作业帮用户 2017-10-05

问题解析

（Ⅰ）利用

AF

＝7

FB

，求出3a=4c，利用椭圆E的右准线l的方程为x=(16)/(3)，求出(a2)/(c)=(16)/(3)，联立求出a，c，可得b，即可求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）由

AN

•

MF

＝0，可得（x+4）（3-x）-y²=0，即y²=-x²-x+12，利用M满足(x2)/(16)+(y2)/(7)＝1，求出M的横坐标，根据

AM

＝λ

MN

，可得(20)/(9)+4=λ（(16)/(3)-(20)/(9)），即可求出λ．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查椭圆的方程与性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

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