二次函数抛物线用顶点表示准线和焦点针对二次函数的形式：y=ax^2+bx+c,它的顶点坐标若可以表达为（Dx,Dy）[其中Dx=-b/(2a),Dy=-△/(4a)],那么焦点可以用必定可以用Dx、Dy和a、b、c五个字母简洁地

Question

二次函数抛物线 用顶点表示准线和焦点
针对二次函数的形式：y=ax^2+bx+c,它的顶点坐标若可以表达为（Dx,Dy）[其中Dx=-b/(2a),Dy=-△/(4a)],那么焦点可以用必定可以用Dx、Dy和a、b、c五个字母简洁地表示出来,焦点是多少,准线呢?

Answer 1

设y=ax²+bx+c=a[x²+(b/a)x]+c=a[(x+b/2a)²-b²/4a²]+c=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a
即有y-(4ac-b²)/4a=a(x+b/2a)²；
平移坐标轴,建立新坐标系x'o'y'；将坐标原点由O(0,0)移到O'(-b/2a,(4ac-b²)/4a),
那么在新坐标系里原二次函数的方程就变为y'=ax'²,其中x'=x+b/2a；y'=y-(4ac-b²)/4a；
在新坐标系里,二次方程x'²=y'/a就是标准形式,其焦参数p=1/∣2a∣,焦点在新坐标系里的坐标
为(0,±1/4a),换成老坐标就是(-b/2a,±(1/4a)+(4ac-b²)/4a)；【±号视情况选取】
在新坐标系里的准线方程为y'=±1/4a,换成老坐标就是y=±1/4a+(4ac-b²)/4a【±号取与焦点坐标相
反的符号】