已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为12，短轴长为43．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆C交于P、Q两点，A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为12．

Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为(1)/(2)，短轴长为4√(3)．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线x=2与椭圆C交于P、Q两点，A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为(1)/(2)．
①求四边形APBQ面积的最大值；
②设直线PA的斜率为k₁，直线PB的斜率为k₂，判断k₁+k₂的值是否为常数，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆C的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)．
由已知b=2√(3)，离心率e=(c)/(a)＝(1)/(2)，a²=b²+c²，得a=4，
所以，椭圆C的方程为(x2)/(16)+(y2)/(12)＝1．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3），Q（2，-3），则|PQ|=6，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=(1)/(2)x+t，代入(x2)/(16)+(y2)/(12)＝1，
得：x²+tx+t²-12=0．
由△＞0，解得-4＜t＜4，由根与系数的关系得

x1+x2＝−t

x1x2＝t2−12

，
四边形APBQ的面积s＝(1)/(2)×6×|x1−x2|＝3×√((x1+x2)2作业帮用户2016-11-18问题解析（Ⅰ）设椭圆C的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，由短轴长可得b值，根据离心率为(1)/(2)及a2=b2+c2，得a值；（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=(1)/(2)x+t，代入(x2)/(16)+(y2)/(12)＝1得x的二次方程，四边形APBQ的面积S=(1)/(2)×|PQ||x1−x2|=(1)/(2)|PQ|√((x1+x2)2−4x1x2)．，而|PQ|易求，代入韦达定理即可求得S的表达式，由表达式即可求得S的最大值；②直线PA的斜率k1＝(y1−3)/(x1−2)，直线PB的斜率k2＝(y2−3)/(x2−2)，代入韦达定理即可求得k1+k2的值；名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．考点点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆方程的求解，考查直线的斜率公式，考查学生分析解决问题的能力，具有一定综合性，难度较大．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)