已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）动点P在椭圆C上，直线l：x=4与x轴交于点N，PM⊥l于点M（M，N

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）动点P在椭圆C上，直线l：x=4与x轴交于点N，PM⊥l于点M（M，N不重合），试问在x轴上是否存在定点T，使得∠PTN的平分线过PM中点，如果存在，求定点T的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由椭圆C的焦距2c=2，解得c=1，
因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，
所以b=√(3)c=√(3)，a=√(b2+c2)=2，
所以椭圆C的标准方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)=1；                        
（Ⅱ）假设存在点T，使得∠PTN的平分线过PM中点．
设P（x₀，y₀），T（t，0），PM中点为S．
因为PM⊥l于点M（M，N不重合），且∠PTN的平分线过S，
所以∠PTS=∠STN=∠PST．
又因为S为PM的中点，
所以|PT|=|PS|=(1)/(2)|PM|．
即√((x0-t)2+(y0-0)2)=(1)/(2)|x₀-4|．
因为点P在椭圆C上，所以y₀²=3（1-(x02)/(4)），
代入上式可得 2x₀（1-t）+（t²-1）=0．
因为对于任意的动点P，∠PTN的平分线都过S，
所以此式对任意x₀∈（-2，2）都成立．
所以

1-t=0

t2-1=0

，
解得t=1．
所以存在定点T，使得∠PTN的平分线过PM中点，
此时定点T的坐标为（1，0）．