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已知椭圆x2/a2+y2/b2=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与x轴交于P,Q两点,O为椭圆的中心.求证OP×OQ为定值
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已知椭圆x2/a2+y2/b2=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与x轴交于P,Q两点,O为椭圆的中心.求证OP×OQ为定值
▼优质解答
答案和解析
不妨设 a>b>0
那么短轴的端点为(0,b) 和(0,-b)
M坐标设为(acosα,bsinα) (椭圆的参数方程)
可以设M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与x轴交点
p(acosα/(1-sinα),0)
Q(acosα/(1+sinα),0)
所以OP*OQ = a^2cos^2α/(1-sin^2α)=a^2 是定值
那么短轴的端点为(0,b) 和(0,-b)
M坐标设为(acosα,bsinα) (椭圆的参数方程)
可以设M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与x轴交点
p(acosα/(1-sinα),0)
Q(acosα/(1+sinα),0)
所以OP*OQ = a^2cos^2α/(1-sin^2α)=a^2 是定值
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