定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称

Question

定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．

(1)若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；
(2)写出与椭圆相似且短半轴长为b的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？
(3)如图：直线l与两个“相似椭圆”和(a>b>0，0<λ<1)分别交于点A，B和点C，D，证明：|AC|=|BD|____

Answer 1

【分析】(1)分别求出特征三角形是腰长为a 和底边长为2c，从而得到椭圆的相似比；
\n(2)设出椭圆C_b的方程，直线l_MN的方程，根据两点关于直线对称的性质，求出直线l_MN的方程，根据直线l_MN与椭圆C_b有两个不同的交点，判别式大于零，求得实数b的取值范围；
\n(3)直线l与x轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合；直线l不与x轴垂直时，设出直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程分别求出线段AB与CD的中点，得到中点坐标相同即可说明结论．

(1)椭圆C₂与C₁相似，
\n因为椭圆C₂的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，
\n而椭圆C₁的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，
\n因此两个等腰三角形相似，且相似比为2∶1.
\n(2)椭圆C_b的方程为：.
\n设l_MN：y=-x+t，点M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，MN中点为(x₀，y₀)，
\n则，
\n所以5x²-8tx+4(t²-b²)=0，
\n则，
\n因为中点在直线y=x+1上，
\n所以有，，
\n即直线l_MN的方程为.
\n由题意可知，直线l_MN与椭圆C_b有两个不同的交点，
\n即方程有两个不同的实数解，
\n所以，即.
\n(3)证明：①直线l与x轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合，
\n所以|AC|=|BD|；
\n②直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=kx+n，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
\n线段AB的中点(x₀，y₀)，
\n则由，得，
\n解得，
\n∴线段AB的中点为，
\n同理可得线段CD的中点为，
\n即线段AB与CD的中点重合，所以|AC|=|BD|.

【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两点关于直线对称的性质，求直线MN的方程是解决第二问的关键，而第三问的关键在于分析出：线段AB与CD的中点重合⇒|AC|=|BD|．