已知椭圆C:x²/y²＋y²/b²=1(a＞b＞0)的离心率为√2/2,左右焦点分别为F1,F2,抛物线y²=4√2x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.1.求椭圆的方程.2.已知圆M:x²＋y²=2/3

Question

已知椭圆C:x²/y²＋y²/b²=1(a＞b＞0)的离心率为√2/2,左右焦点分别为F1,F2,抛物线y²=4√2x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点. 1.求椭圆的方程. 2.已知圆M:x²＋y²=2/3的切线l与椭圆相交于A.B两点那么以AB为直径的圆是否经过定点?如果是,求出定点的坐标,如果不是,请说明理由.

Answer 1

设半焦距为c,则AF2=c-a, AK=(a²/c)-a=(a-c)/e=√2(a-c)
AF2*AK=-√2(a-c)²=4-3√2
解得a=√2,c=1
椭圆方程为x²/2 + y² =1
B点坐标为(0,1), F1坐标为(-1,0)
BF1斜率=(1-0)/(0+1)=1
故CD斜率为-1
设C(x1,y1), D(x2,y2）,设CD方程为y=m-x,代入椭圆方程消元得：
3x²-4mx+2m²-2=0
由韦达定理得：x1+x2=4m/3, x1x2=(2m²-2)/3
BC斜率*DF1斜率=-1
(y1-1)/x1 * y2/(x2+1)=-1化简得：2x1x2+(1-m)(x1+x2)+m²-m=0
代入韦达定理结论化简得：3m²+m-4=0
解得m=-4/3或m=1
m=1时直线L经过点B不符合题意故舍去.
L方程为y=-x=4/3