一元积分问题在用一元积分求旋转面积时,用的积分元是弧长元素ds；而求旋转体体积时,选取的积分元则是dx或dy,我想问的是,这里为什么不用ds呢?这样不是更接近真实体积吗?我的意思是，求

Question

一元积分问题
在用一元积分求旋转面积时,用的积分元是弧长元素ds；
而求旋转体体积时,选取的积分元则是dx或dy,我想问的是,这里为什么不用ds呢?这样不是更接近真实体积吗?
我的意思是，求体积时也可以考虑进去曲线的倾斜性，但却可以用x、y方向的微分元计算，而计算曲面积分是，又必须考虑进去曲线的倾斜性，加入弧长因素，这中间有什么内在因素？

Answer 1

用一元积分求旋转面积时,是把旋转面切成无数个小环,而再把小环展开成近似长方形来计算它的面积,再求和.在考虑小环的宽度时,用ds而不用dx或dy是因为这样才可以让所有的小环连接起来,若用dx,当△x→0时,就会把近似的圆环变成一节一节的圆环组合,不能连成光滑曲面,故要考虑进去曲线的倾斜度,用弧长元素来积分；
而求体积时,若旋转体是内部相通（即内部任一点可以自由的旅行到另一点）,则采用把体积分成无数圆片面积叠加来求,这种考虑相当于把单个面积的厚度看成是1,自然无需再考虑曲线倾斜度造成的面积损失,直接用dx积过去；另一种情况是旋转体为空心的,这时的分割则采用无数薄片圆柱面积的叠加,而圆柱无论是x方向还是y方向,这些切面总可以连续的切过曲线,即没有面积损失,所以也无需考虑曲线倾斜.
不管是一元积分还是多元积分,考虑积分元时,关键看当无穷小量趋近于0时,积分结果是否保持原样（能否光滑的连接起来）,如果在近似过程中造成了损失,则要考虑加进去,如曲面积分时,投影面面积与真实面积有个夹角,那么积分时,如果用坐标面为积分元所在面,则要乘以一个方向角因子,将倾斜面变成不倾斜.