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已知点P(-8,0)和圆C:x2+y2-2x+10y+4=0,(1)求经过点P被圆C截得的线段最长的直线l的方程;(2)过P点向圆C引割线,求被此圆截得的弦的中点的轨迹.
题目详情
已知点P(-8,0)和圆C:x2+y2-2x+10y+4=0,
(1)求经过点P被圆C截得的线段最长的直线l的方程;
(2)过P点向圆C引割线,求被此圆截得的弦的中点的轨迹.
(1)求经过点P被圆C截得的线段最长的直线l的方程;
(2)过P点向圆C引割线,求被此圆截得的弦的中点的轨迹.
▼优质解答
答案和解析
(1)化圆的方程为:(x-1)2+(y+5)2=22,圆心坐标:C(1,-5).
由题意可得经过点P被圆C截得的线段最长的直线l经过圆C的圆心,
由两点式方程得:
=
,
化简得:5x+9y+40=0,
∴直线l的方程是:5x+9y+40=0…(6分)
(2)设中点M(x,y),则
∵CM⊥PM,∴△PCM是Rt△,
∴有:|PM|2+|MC|2=|PC|2
即:(x+8)2+y2+(x-1)2+(y+5)2=106,
化简得:x2+7x+y2+5y-8=0
故中点M的轨迹是圆x2+7x+y2+5y-8=0在圆C内部的一段弧 …(12分)
由题意可得经过点P被圆C截得的线段最长的直线l经过圆C的圆心,
由两点式方程得:
y−0 |
−5−0 |
x+8 |
1+8 |
化简得:5x+9y+40=0,
∴直线l的方程是:5x+9y+40=0…(6分)
(2)设中点M(x,y),则
∵CM⊥PM,∴△PCM是Rt△,
∴有:|PM|2+|MC|2=|PC|2
即:(x+8)2+y2+(x-1)2+(y+5)2=106,
化简得:x2+7x+y2+5y-8=0
故中点M的轨迹是圆x2+7x+y2+5y-8=0在圆C内部的一段弧 …(12分)
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