如图，二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点（1）求m的值及C点坐标；（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成

Question

如图，二次函数y=-x²+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点

（1）求m的值及C点坐标；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由
（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②点P的横坐标为t（0<t<4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．

Answer 1

（1）将B（4，0）代入y=-x²+3x+m，
解得，m=4，
∴二次函数解析式为y=-x²+3x+4，
令x=0，得y=4，
∴C（0，4），
（2）存在，
理由：∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为y=-x+4，
当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC面积最大，
∴

y=-x+4+b

y=-x2+3x+4

，
∴x²-4x+b=0，
∴△=14-4b=0，
∴b=4，
∴

x=2

y=6

，
∴M（2，6），
（3）①如图，

∵点P在抛物线上，
∴设P（m，-m²+3m+4），
当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，
∵B（4，0），C（0，4）
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，
∴m=-m²+3m+4，
∴m=1±√(5)，
∴P（1+√(5)，1+√(5)）或P（1-√(5)，1-√(5)），
②如图，

设点P（t，-t²+3t+4），
过点P作y轴的平行线l，过点C作l的垂线，
∵点D在直线BC上，
∴D（t，-t+4），
∵PD=-t²+3t+4-（-t+4）=-t²+4t，
BE+CF=4，
∴S_{四边形PBQC}=2S_△PDC=2（S_△PCD+S_△BD）=2（(1)/(2)PD×CF+(1)/(2)PD×BE）=4PD=-4t²+16t，
∵0<t<4，
∴当t=2时，S_{四边形PBQC最大}=16