如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=34，CF=103，求BF的长．

Question

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D

（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=(3)/(4)，CF=(10)/(3)，求BF的长．

Answer 1

证明：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即∠ADC+∠CDB=90°，
∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，
∴∠EAC+∠BAC=90°，
即∠BAE=90°，
∴直线AE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
Rt△ACB中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×4=8，
由勾股定理得：AC=√(82-42)=4√(3)，
Rt△ADB中，cos∠BAD=(3)/(4)=(AD)/(AB)，
∴(3)/(4)=(AD)/(8)，
∴AD=6，
∴BD=√(82-62)=2√(7)，
∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
∴△DFB∽△AFC，
∴(BF)/(FC)=(BD)/(AC)，
∴(BF)/((10)/(3))=(2√(7))/(4√(3))，
∴BF=(5√(21))/(9)．